|
ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 1
۱) تعداد حالتهای ممکن برای رمز یک دستگاه را در حالتهای زیر به دست آورید. مشخص کنید برای این کار از اصل جمع استفاده میشود یا از اصل ضرب یا از هر دو.
الف) این رمز از یک گزینه تشکیل شده، که یک عدد یا یک حرف الفبای فارسی است.
ب) این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که گزینه اول یک عدد و گزینه دوم یک حرف الفبای فارسی است.
پ) این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یکی از گزینهها یک عدد و گزینه دیگر یک حرف الفبای فارسی است.
ت) این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یا هر دو گزینه عددند یا هر دو گزینه حروف انگلیسیاند.
ث) این رمز از ۴ گزینه تشکیل شده است که دو گزینه اول اعداد غیرتکراری و دو گزینه دوم حروف انگلیسی غیرتکراریاند.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 1
سلام به همه دانشآموزان عزیز! بیایید با هم یاد بگیریم چطور از **اصول شمارش** برای پیدا کردن تعداد رمزهای ممکن استفاده کنیم. فرض میکنیم ۱۰ عدد ($$0$$ تا $$9$$)، ۳۲ حرف الفبای فارسی و ۲۶ حرف الفبای انگلیسی داریم.
* **قسمت الف:** چون رمز فقط یک بخش است و گفته شده عدد «یا» حرف، طبق **اصل جمع** عمل میکنیم:
تعداد حالات = $$10 + 32 = 42$$.
* **قسمت ب:** رمز دو بخش دارد که باید هر دو انتخاب شوند (عدد «و» حرف). طبق **اصل ضرب**:
تعداد حالات = $$10 \times 32 = 320$$.
* **قسمت پ:** در اینجا ترتیب مهم است؛ یعنی یا اول عدد و بعد حرف ($$10 \times 32$$) یا اول حرف و بعد عدد ($$32 \times 10$$). پس از **هر دو اصل** استفاده میکنیم:
تعداد حالات = $$(10 \times 32) + (32 \times 10) = 320 + 320 = 640$$.
* **قسمت ت:** دو حالت داریم: (عدد و عدد) «یا» (حرف و حرف). باز هم ترکیبی از **ضرب و جمع** است:
تعداد حالات = $$(10 \times 10) + (26 \times 26) = 100 + 676 = 776$$.
* **قسمت ث:** رمز ۴ جایگاه دارد. برای دو تای اول اعداد غیرتکراری ($$10 \times 9$$) و برای دو تای بعدی حروف انگلیسی غیرتکراری ($$26 \times 25$$) انتخاب میشوند. طبق **اصل ضرب**:
تعداد حالات = $$10 \times 9 \times 26 \times 25 = 90 \times 650 = 58500$$.
ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 2
۲) در یک شهرک صنعتی ۵ بلوار اصلی و در هر بلوار، بین ۸ تا ۱۰ خیابان، و در هر خیابان بین ۱۰ تا ۱۲ کوچه و در هر کوچه بین ۲۰ تا ۳۰ کارخانه وجود دارد. حداقل و حداکثر تعداد کارخانههایی که ممکن است در این شهرک وجود داشته باشد، چند تاست؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 2
برای پیدا کردن حداقل و حداکثر تعداد کارخانهها، باید از **اصل ضرب** استفاده کنیم، چون برای رسیدن به هر کارخانه باید از بلوار، خیابان و کوچه عبور کنیم.
**۱. محاسبه حداقل تعداد کارخانهها:**
کمترین مقادیر داده شده را در هم ضرب میکنیم:
* ۵ بلوار × ۸ خیابان × ۱۰ کوچه × ۲۰ کارخانه
* $$5 \times 8 \times 10 \times 20 = 8000$$ کارخانه.
**۲. محاسبه حداکثر تعداد کارخانهها:**
بیشترین مقادیر داده شده را در هم ضرب میکنیم:
* ۵ بلوار × ۱۰ خیابان × ۱۲ کوچه × ۳۰ کارخانه
* $$5 \times 10 \times 12 \times 30 = 18000$$ کارخانه.
**نکته مفهومی:** این مسئله نشان میدهد که چطور انتخابهای متوالی باعث افزایش تصاعدی تعداد کل حالات میشوند.
ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 3
۳) میخواهیم رأسهای مثلث زیر را با دو رنگ قرمز و آبی رنگ کنیم.
الف) به چند طریق این کار امکانپذیر است؟
ب) به چند طریق میتوان این رنگآمیزی را انجام داد، بهگونهای که رأسهایی که به هم وصلاند، همرنگ نباشند.
پ) هر دو قسمت (الف) و (ب) را در حالتی که از سه رنگ مختلف استفاده میکنیم، بررسی کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 3
بیایید مثلثی با سه رأس $$A$$، $$B$$ و $$C$$ را رنگآمیزی کنیم.
**حالت اول: استفاده از ۲ رنگ (قرمز و آبی)**
* **الف) بدون شرط:** برای هر رأس ۲ انتخاب داریم. طبق **اصل ضرب**: $$2 \times 2 \times 2 = 8$$ حالت.
* **ب) شرط غیر همرنگ بودن:** چون در مثلث هر سه رأس به هم وصلاند، باید هر سه رنگ متفاوتی داشته باشند. اما ما کلاً ۲ رنگ داریم! پس انجام این کار با ۲ رنگ **غیرممکن (۰ حالت)** است.
**حالت دوم: استفاده از ۳ رنگ**
* **پ-۱) بدون شرط:** برای هر رأس ۳ انتخاب داریم: $$3 \times 3 \times 3 = 27$$ حالت.
* **پ-۲) شرط غیر همرنگ بودن:**
* رأس $$A$$: ۳ انتخاب دارد.
* رأس $$B$$: نباید همرنگ $$A$$ باشد، پس ۲ انتخاب دارد.
* رأس $$C$$: نباید همرنگ $$A$$ و $$B$$ باشد، پس فقط ۱ انتخاب باقی میماند.
* تعداد کل حالات = $$3 \times 2 \times 1 = 6$$ حالت.
ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 4
۴) با پلاکهایی به صورت زیر که عدد دو رقمی سمت راست آنها از مجموعه A انتخاب شوند و سایر ارقام از مجموعه B انتخاب شوند و حرف استفاده شده در آن از مجموعه C انتخاب شود، چند ماشین را میتوان شمارهگذاری کرد؟
$$A = \{11, 22, \dots, 99\}$$
$$B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$
$$C = \{\text{ی, ه, و, ن, م, ل, ق, ط, ص, س, د, ج, ب}\}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 124 - تمرین 4
برای ساخت این پلاک، باید تعداد انتخابهای هر جایگاه را طبق ساختار پلاک مشخص کرده و در هم ضرب کنیم.
**ساختار پلاک ایران:** [دو رقم] [حرف] [سه رقم] [کادر دو رقمی سمت راست]
**۱. تحلیل جایگاهها:**
* **دو رقم اول:** هر کدام از مجموعه $$B$$ (۹ انتخاب) هستند. پس: $$9 \times 9$$ حالت.
* **حرف وسط:** از مجموعه $$C$$ که ۱۳ حرف دارد انتخاب میشود: $$13$$ حالت.
* **سه رقم بعدی:** باز هم هر کدام از مجموعه $$B$$ انتخاب میشوند: $$9 \times 9 \times 9$$ حالت.
* **عدد دو رقمی سمت راست:** از مجموعه $$A$$ انتخاب میشود. مجموعه $$A$$ شامل اعداد ۱۱، ۲۲ تا ۹۹ است که یعنی ۹ عدد دو رقمی خاص هستند: $$9$$ حالت.
**۲. محاسبه نهایی با اصل ضرب:**
تعداد کل پلاکها = $$(9 \times 9) \times 13 \times (9 \times 9 \times 9) \times 9$$
تعداد کل = $$81 \times 13 \times 729 \times 9 = 6,908,229$$ پلاک مختلف.
